Giải bài 41, 42, 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài tập trang 128 bài ôn tập chương II SGK Toán 9 tập 1. Câu 41: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H…
Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
Bạn đang xem: Giải bài 41, 42, 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\)
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường trong (I) và (K)
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn làm bài:
a) \(OI = OB – IB\) nên (I) tiếp xúc trong với (O)
\(OK = OC – KC\) nên (K) tiêó xúc trong với (O)
\(IK = IH + KH\) nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)
b) \(\widehat {BEH} = 90°\) (E thuộc đường tròn đường kính BH)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\)
Tương tự có \(\widehat {AFH} = {90^0};\widehat {BAC} = {90^0}\)
Tứ giác AEHF có \(\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.
c) ∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \(AH^2 = AE. AB\)
∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \(AH^2 = AF. AC\)
Do đó \(AE. AB = AF. AC\)
d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \(ME = MF = MH = MA\)
Xét ∆MEI và ∆MHI có:
\(ME = MH, IE = IH (=R)\), MI (cạnh chung)
Do đó \(∆MEI = ∆MHI\) (c.c.c)
\(\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\)
mà \(\widehat {MHI} = {90^0}\) nên \(\widehat {MEI} = {90^0}\)
⇒ EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
e) Ta có \(EF = AH\) mà \(AH ≤ AO = R\)
Do đó \(EF ≤ R\), không đổi. Dấu “=” xảy ra \(⇔ H ≡ O\)
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Hướng dẫn làm bài:
a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\)
\(∆MAB\) cân tại \(M (MA = MB)\)
Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\)
Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {MFA} = 90^0\)
\(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\)
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\)
b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\)
Tương tự, ta có: \(MF. MO’ = MA^2\)
Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\)
c) Ta có \(MA = MB = MC\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A.
Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (\(∆MOO’\) vuông tại M)
Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.\)
Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.
Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\)
Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\)
Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’
Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1
Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Hướng dẫn làm bài:
a) Vẽ OM ⊥ CD tại M, O’N ⊥CD tại N, ta có:
\(MA = MC = {{AC} \over 2};\)
\(NA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\)
Mặt khác, ta có \(OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD\)
\(⇒ OM // IA //O’N.\)
Hình thang OMNO’ (OM //O’N) có \(IA // OM; IO = IO’\) nên \(MA = NA.\) Do vậy \(AC = AD\)
b) (O) và (O’) cắt nhau tại A, B
⇒ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB
\(⇒ IA = IB\)
Mặt khác \(IA = IK\) ( vì K đối xứng với A qua I)
Do đó: \(IA = IB = IK\)
Ta có ∆KBA có BI là đường trung tuyến và \(BI = {{AK} \over 2}\) nên ∆KBA vuông tại B
\(⇒ KB ⊥ AB\)
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập