Giải bài tập

Giải bài 41, 42, 5.1 trang 13 SBT Toán 8 tập 2

Giải bài tập trang 13 bài 5 phương trình chứa ẩn ở mẫu Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Câu 41: Giải các phương trình sau…

Câu 41 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình sau:

a. \({{2x + 1} \over {x – 1}} = {{5\left( {x – 1} \right)} \over {x + 1}}\)

Bạn đang xem: Giải bài 41, 42, 5.1 trang 13 SBT Toán 8 tập 2

b. \({{x – 3} \over {x – 2}} + {{x – 2} \over {x – 4}} =  – 1\)

c. \({1 \over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} \over {{x^3} – 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\)

d. \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} – 9}}\)

Giải:

a. \({{2x + 1} \over {x – 1}} = {{5\left( {x – 1} \right)} \over {x + 1}}$                       ĐKXĐ:  

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {{5\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 5\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} – 10x + 5  \cr  &  \Leftrightarrow 2{x^2} – 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow  – 3{x^2} + 13x – 4 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} – x – 12x + 4 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {3x – 1} \right) – 4\left( {3x – 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x – 4 = 0\) hoặc \(3x – 1 = 0\)

            +)  \(x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

             +)  \(3x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc \(x = {1 \over 3}\)

b. \({{x – 3} \over {x – 2}} + {{x – 2} \over {x – 4}} =  – 1\)                           ĐKXĐ: \(x \ne 2\)và \(x \ne 4\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} + {{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 2} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} =  – {{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) + \left( {x – 2} \right)\left( {x – 2} \right) =  – \left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 3x + 12 + {x^2} – 2x – 2x + 4 =  – {x^2} + 4x + 2x – 8  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} – 17x + 24 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 8x + 24 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3x\left( {x – 3} \right) – 8\left( {x – 3} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3x – 8} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 3x – 8 = 0\) hoặc \(x – 3 = 0\)

+ \(3x – 8 = 0 \Leftrightarrow x = {8 \over 3}\) (thỏa mãn)

+ \(x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có nghiệm \(x = {8 \over 3}\) hoặc x = 3

c. \({1 \over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} \over {{x^3} – 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\)                      

ĐKXĐ:  \(x \ne 1\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} \over {{x^3} – 1}} + {{2{x^2} – 5} \over {{x^3} – 1}} = {{4\left( {x – 1} \right)} \over {{x^3} – 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4\left( {x – 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4x – 4  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x – 4x =  – 4 + 5 – 1  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3x\left( {x – 1} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa) hoặc \(x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (loại)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 0

d. \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} – 9}}\)                       ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\) và \(x =  – {7 \over 2}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{13\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {{{x^2} – 9} \over {\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} = {{6\left( {2x + 7} \right)} \over {\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} – 9 = 6\left( {2x + 7} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4x – 12 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {x – 3} \right) + 4\left( {x – 3} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x + 4 = 0\) hoặc \(x – 3 = 0\)

+ \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  – 4\) (thỏa mãn)

+ \(x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (loại)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -4


Câu 42 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho phương trình ẩn:

\({{x + a} \over {a – x}} + {{x – a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {x^2}}}\)

a. Giải phương trình với a = -3

b. Giải phương trình với a = 1

c. Giải phương trình với a = 0

d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.

Giải:

a. Khi a = -3, ta có phương trình:

\({{x – 3} \over { – 3 – x}} + {{x + 3} \over { – 3 + x}} = {{ – 3\left[ {3\left( { – 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { – 3} \right)}^2} – {x^2}}}\)                       ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{3 – x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x – 3}} = {{24} \over {9 – {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{3 – x} \over {x + 3}} – {{x + 3} \over {x – 3}} =  – {{24} \over {{x^2} – 9}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{\left( {3 – x} \right)\left( {x – 3} \right)} \over {{x^2} – 9}} – {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} – 9}} =  – {{24} \over {{x^2} – 9}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3 – x} \right)\left( {x – 3} \right) – {\left( {x + 3} \right)^3} =  – 24  \cr  &  \Leftrightarrow 3x – 9 – {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 =  – 24  \cr  &  \Leftrightarrow 12x =  – 24 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x =  – 2\) (thỏa)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -2

b. Khi a = 1, ta có phương trình:

\({{x + 1} \over {1 – x}} + {{x – 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} – {x^2}}}\)                       ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 – x}} + {{x – 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 – {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 – {x^2}}} + {{\left( {x – 1} \right)\left( {1 – x} \right)} \over {1 – {x^2}}} = {4 \over {1 – {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x – 1} \right)\left( {1 – x} \right) = 4  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x – {x^2} – 1 + x = 4  \cr  &  \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x = 1\) (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { – x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}\)                      

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{ – {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow  – {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \)

Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\)

 Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 0\)

d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có:

\({{{1 \over 2} + a} \over {a – {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} – a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\)                        ĐKXĐ: \(x \ne  \pm {1 \over 2}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a – {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} – a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {1 \over 4}}}  \cr &  \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a – 1}} + {{1 – 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}} + {{\left( {1 – 2a} \right)\left( {2a – 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 – 2a} \right)\left( {2a – 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a – 1 – 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a  \cr  &  \Leftrightarrow 12{a^2} – 4a = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4a\left( {3a – 1} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a – 1 = 0\)  

\( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa)

Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a – x}} + {{x – a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.

 


Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình

a. \({2 \over {x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x – 2}}}}}} = {6 \over {3x – 1}}\)

b. \({{{{x + 1} \over {x – 1}} – {{x – 1} \over {x + 1}}} \over {1 + {{x + 1} \over {x – 1}}}} = {{x – 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\)

c. \({5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}\)

Giải:

a. Ta có: \(x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x – 2}}}} = x + {{x – 2} \over {2x – 1}} = {{2\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {2x – 1}}\)

ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne  \pm 1,x \ne {1 \over 3}\). Ta biến đổi phương trình đã cho thành

\({{2x – 1} \over {{x^2} – 1}} = {6 \over {3x – 1}}\). Khử mẫu và rút gọn:

\(\eqalign{  & \left( {2x – 1} \right)\left( {3x – 1} \right) = 6\left( {{x^2} – 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow  – 5x + 1 =  – 6  \cr  &  \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \)

Giá trị \(x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ.  Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {7 \over 5}\)

b. Cách 1. ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\). Biến đổi vế trái thành \({{4x} \over {{x^2} – 1}}.{{x – 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}\), ta đưa phương trình đã cho về dạng \({2 \over {x + 1}} = {{x – 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\).

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

\(\eqalign{  & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x =  – 1\) hoặc \(x = 5\)

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt \({{x + 1} \over {x – 1}} = y\), ta có phương trình \({{y – {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\). ĐKXĐ của phương trình này là \(y \ne 0\) và \(y \ne  – 1\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

\(\eqalign{  & 2{y^2} – 2 = 1 + y  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} – 1} \right) – \left( {y + 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y – 3} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow y =  – 1\) hoặc \(y = {3 \over 2}\)

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \({{x + 1} \over {x – 1}} = {3 \over 2}\)

Giải phương trình này ta được x = 5

c. ĐKXĐ: \(x \in \left\{ {0; – 1; – 2; – 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau:

\(\eqalign{  & {5 \over x} + {2 \over {x + 3}} = {4 \over {x + 1}} + {3 \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) = \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) + \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 3}} = {{5 + x} \over {x + 1}} + {{5 + x} \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {{1 \over x} + {1 \over {x + 3}} – {1 \over {x + 1}} – {1 \over {x + 2}}} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 5 + x = 0(1) \cr} \)

hoặc \({1 \over x} + {1 \over {x + 3}} – {1 \over {x + 1}} – {1 \over {x + 2}} = 0\)  (2)

Ta có:

(1) \( \Leftrightarrow x =  – 5\)

(2) \(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} – {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \({1 \over {{x^2} + 3x}} – {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\)

+ \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  – {3 \over 2}\)

+ \({1 \over {{x^2} + 3x}} – {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left\{ { – 5; – {3 \over 2}} \right\}\)

Trường THPT Ngô Thì Nhậm

Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Giải bài tập

Nội dung bài viết được đăng tải bởi thầy cô trường thpt Ngô Thì Nhậm (trước đây là trường trung học phổ thông Sóc Trăng). Cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button