Giải bài tập trang 22, 23 bài 5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu sgk toán 8 tập 2. Câu 27: Giải các phương trình:…
Bài 27 trang 22 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a) \( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3; b) \( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\)
Bạn đang xem: Giải bài 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 trang 22, 23 SGK toán 8 tập 2
c) \( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\); d) \( \frac{5}{3x+2}\) = 2x – 1
Hướng dẫn giải:
a) ĐKXĐ: x # -5
\( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3 ⇔ \( \frac{2x-5}{x+5}\) \( =\frac{3(x+5)}{x+5}\)
⇔ 2x – 5 = 3x + 15
⇔ 2x – 3x = 5 + 20
⇔ x = -20 thoả ĐKXĐ
Vậy tập hợp nghiệm S = {-20}
b) ĐKXĐ: x # 0
\( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\) ⇔ \( \frac{2(x^{2}-6)}{2x}=\frac{2x^{2}+3x}{2x}\)
Suy ra: 2x2 – 12 = 2x2 + 3x ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4 thoả x # 0
Vậy tập hợp nghiệm S = {-4}.
c) ĐKXĐ: x # 3
\( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\) ⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇔ (x – 3)(x + 2) = 0 mà x # 3
⇔ x + 2 = 0
⇔ x = -2
Vậy tập hợp nghiệm S = {-2}
d) ĐKXĐ: x # \( -\frac{2}{3}\)
\( \frac{5}{3x+2}\) = 2x – 1 ⇔ \( \frac{5}{3x+2}\) \( =\frac{(2x -1)(3x+2)}{3x+2}\)
⇔ 5 = (2x – 1)(3x + 2)
⇔ 6x2 – 3x + 4x – 2 – 5 = 0
⇔ 6x2 + x – 7 = 0
⇔ 6x2 – 6x + 7x – 7 = 0
⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0
⇔ (6x + 7)(x – 1) = 0
⇔ x = \( -\frac{7}{6}\) hoặc x = 1 thoả x # \( -\frac{2}{3}\)
Vậy tập nghiệm S = {1;\( -\frac{7}{6}\)}.
Bài 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a) \( \frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}\); b) \( \frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}\)
c) x + \( \frac{1}{x}\) = x2 + \( \frac{1}{x^{2}}\); d) \( \frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}\) = 2.
Hướng dẫn giải:
a) ĐKXĐ: x # 1
Khử mẫu ta được: 2x – 1 + x – 1 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 không thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) ĐKXĐ: x # -1
Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = -12
⇔ 7x = -14
⇔ x = -2
Vậy phương trình có nghiệm x = -2.
c) ĐKXĐ: x # 0.
Khử mẫu ta được: x3 + x = x4 + 1
⇔ x4 – x3 -x + 1 = 0
⇔ x3(x – 1) –(x – 1) = 0
⇔ (x3 -1)(x – 1) = 0
⇔ x3 -1 = 0 hoặc x – 1 = 0
1) x – 1 = 0 ⇔ x = 1
2) x3 -1 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1) = 0
⇔ x = 1 hoặc x2 + x + 1 = 0 ⇔ \( (x+\frac{1}{2})^{2}\) = \( -\frac{3}{4}\) (vô lí)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
d) ĐKXĐ: x # 0 -1.
Khử mẫu ta được x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2x(x + 1)
⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – 2 = 2x2 + 2x
⇔ 2x2 + 2x – 2 = 2x2 + 2x
⇔0x = 2
Phương trình 0x = 2 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 29 trang 22 sgk toán 8 tập 2
Bạn Sơn giải phương trình \({{{x^2} – 5x} \over {x – 5}} = 5\left( 1 \right)\) như sau:
(1) ⇔\({x^2} – 5x = 5\left( {x – 5} \right)\)
⇔\({x^2} – 5x = 5x – 25\)
⇔\({x^2} – 10x + 25 = 0\)
⇔\({\left( {x – 5} \right)^2} = 0\)
⇔\(x = 5\)
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:
(1) ⇔\({{x\left( {x – 5} \right)} \over {x – 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\)
Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.
Hướng dẫn làm bài:
+ Trong cách giải của bạn Sơn có ghi
(1) \({x^2} – 5x = 5\left( {x – 5} \right)\) ⇔ là sai vì x = 5 không là nghiệm của (1) hay ( 1) có ĐKXĐ :\(x \ne 5\) .
+ Trong cách giải của Hà có ghi
(1) ⇔\({{x\left( {x – 5} \right)} \over {x – 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\)
Sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn x – 5.
Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Bài 30 trang 23 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({1 \over {x – 3}} + 3 = {{x – 3} \over {2 – x}}\)
b) \(2x – {{2{x^2}} \over {x + 3}} = {{4x} \over {x + 3}} + {2 \over 7}\)
c) \({{x + 1} \over {x – 1}} – {{x – 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2} – 1}}\)
d) \({{3x – 2} \over {x + 7}} = {{6x + 1} \over {2x – 3}}\)
Hướng dẫn làm bài:
a) \({1 \over {x – 3}} + 3 = {{x – 3} \over {2 – x}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 2\)
Khử mẫu ta được: \(1 + 3\left( {x – 2} \right) = – \left( {x – 3} \right) \Leftrightarrow 1 + 3x – 6 = – x + 3\)
⇔\(3x + x = 3 + 6 – 1\)
⇔4x = 8
⇔x = 2.
x = 2 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) \(2x – {{2{x^2}} \over {x + 3}} = {{4x} \over {x + 3}} + {2 \over 7}\) ĐKXĐ:\(x \ne – 3\)
Khử mẫu ta được:
\(14\left( {x + 3} \right) – 14{x^2}\)= \(28x + 2\left( {x + 3} \right)\)
\(\Leftrightarrow 14{x^2} + 42x – 14{x^2}= 28x + 2x + 6\)
⇔ \(42x – 30x = 6\)
⇔\(12x = 6\)
⇔\(x = {1 \over 2}\)
\(x = {1 \over 2}\) thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)
c) \({{x + 1} \over {x – 1}} – {{x – 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2} – 1}}\) ĐKXĐ:\(x \ne \pm 1\)
Khử mẫu ta được: \({\left( {x + 1} \right)^2} – {\left( {x – 1} \right)^2} = 4\)
⇔\({x^2} + 2x + 1 – {x^2} + 2x – 1 = 4\)
⇔\(4x = 4\)
⇔\(x = 1\)
x = 1 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) \({{3x – 2} \over {x + 7}} = {{6x + 1} \over {2x – 3}}\) ĐKXĐ:\(x \ne – 7\) và \( x \ne {3 \over 2}\)
Khử mẫu ta được: \(\left( {3x – 2} \right)\left( {2x – 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\)
⇔\(6{x^2} – 9x – 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\)
⇔\( – 13x + 6 = 43x + 7\)
⇔\( – 56x = 1\)
⇔\(x = {{ – 1} \over {56}}\)
\(x = {{ – 1} \over {56}}\) thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{ – 1} \over {56}}\) .
Bài 31 trang 23 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({1 \over {x – 1}} – {{3{x^2}} \over {{x^3} – 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)
b) \({3 \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}}\)
c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\)
d) \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Giải:
a) \({1 \over {x – 1}} – {{3{x^2}} \over {{x^3} – 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)
Ta có: \({x^3} – 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)
\(= \left( {x – 1} \right)\left[ {{{\left( {x + {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\) cho nên x3 – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1
Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1
Khử mẫu ta được:
\({x^2} + x + 1 – 3{x^2} = 2x\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow – 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} – 2x\)
\(\Leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4x\left( {x – 1} \right) + \left( {x – 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = – {1 \over 4}} \cr} }\right.\)
x = 1 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = – {1 \over 4}\)
b) \({3 \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}}\)
ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
Khử mẫu ta được:
\(3\left( {x – 3} \right) + 2\left( {x – 2} \right) = x – 1 \Leftrightarrow 3x – 9 + 2x – 4 = x – 1\)
\( \Leftrightarrow 5x – 13 = x – 1\)
⇔ 4x = 12
⇔ x = 3
x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\)
Ta có: \(8 + {x^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)\)
\( = \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3} \right]\)
Do đó: 8 + x2 ≠ 0 khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2
Suy ra ĐKXĐ: x ≠ -2
Khử mẫu ta được:
\({x^3} + 8 + {x^2} – 2x + 4 = 12 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} – 2x = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x – 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x – x – 2} \right] = 0\)
⇔ x(x + 2)(x – 1) = 0
⇔ x(x -1) = 0
⇔x = 0 hay x = 1
x = 0, x = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình.
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}.
d) \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 3,x \ne – 3,x \ne – {7 \over 2}\)
Khử mẫu ta được:
\(13\left( {x + 3} \right) + \left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x – 3x – 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) – 3\left( {x + 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)
⇔ x =3 hoặc x = -4
x = 3 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4
Bài 32 trang 23 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) ;
b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x – 1 – {1 \over x}} \right)^2}\)
Hướng dẫn làm bài:
a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) (1)
ĐKXĐ:\(x \ne 0\)
(1) ⇔\(\left( {{1 \over x} + 2} \right) – \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {1 – {x^2} – 1} \right) = 0\)
⇔ \(\left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( { – {x^2}} \right) = 0\)
⇔\(\left[ {\matrix{{{1 \over x} + 2 = 0} \cr { – {x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{1 \over x} = – 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {1 \over 2}} \cr {x = 0} \cr} } \right.\)
b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x – 1 – {1 \over x}} \right)^2}\) (2)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
(2) ⇔\(\left[ {\matrix{{x + 1 + {1 \over x} = x – 1 – {1 \over x}} \cr {x + 1 + {1 \over x} = – \left( {x – 1 – {1 \over x}} \right)} \cr} } \right.\)
⇔\(\left[ {\matrix{{{2 \over x} = – 2} \cr {2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – 1} \cr {x = 0} \cr} } \right.} \right.\)
x=0 không thoả ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.
Bài 33 trang 23 sgk toán 8 tập 2
Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:
a) \({{3a – 1} \over {3a + 1}} + {{a – 3} \over {a + 3}}\) b) \({{10} \over 3} – {{3a – 1} \over {4a + 12}} – {{7a + 2} \over {6a + 18}}\)
Hướng dẫn làm bài:
a)Ta có phương trình:\({{3a – 1} \over {3a + 1}} + {{a – 3} \over {a + 3}} = 2\); ĐKXĐ: \(a \ne – {1 \over 3},a \ne – 3\)
Khử mẫu ta được :
\(\left( {3a – 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a – 3} \right)\left( {3a + 1} \right) = 2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)\)
⇔\(3{a^2} + 9a – a – 3 + 3{a^2} – 9a + a – 3 = 6{a^2} + 18a + 2a + 6\)
⇔\(6{a^2} – 6 = 6{a^2} + 20a + 6\)
⇔\(20a = – 12\)
⇔\(a = – {3 \over 5}\)
\(a = – {3 \over 5}\) thỏa ĐKXĐ.
Vậy \(a = – {3 \over 5}\) thì biểu thức \({{3a – 1} \over {3a + 1}} + {{a – 3} \over {a + 3}}\) có giá trị bằng 2
b)Ta có phương trình:\({{10} \over 3} – {{3a – 1} \over {4a + 12}} – {{7a + 2} \over {6a + 18}} = 2\)
ĐKXĐ:\(a \ne 3;MTC:12\left( {a + 3} \right)\)
Khử mẫu ta được:
\(40\left( {a + 3} \right) – 3\left( {3a – 1} \right) – 2\left( {7a + 2} \right) = 24\left( {a + 3} \right)\)
⇔\(40a + 120 – 9a + 3 – 14a – 4 = 24a + 72\)
⇔\(17a + 119 = 24a + 72\)
⇔\( – 7a = – 47\)
⇔\(a = {{47} \over 7}\)
\(a = {{47} \over 7}\) thỏa ĐKXĐ.
Vậy \(a = {{47} \over 7}\) thì biểu thức \({{10} \over 3} – {{3a – 1} \over {4a + 12}} – {{7a + 2} \over {6a + 18}}\) có giá trị bằng 2.
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
