Giải bài tập trang 83 bài 3 hình thang cân Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Câu 30: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE…
Câu 30 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
Bạn đang xem: Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 83 SBT Toán 8 tập 1
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
a. AD = AE (gt)
⇒ ∆ ADE cân tại A
\( \Rightarrow \widehat {ADE} = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\)
∆ ABC cân tại A
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\)
Suy ra: \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
⇒ DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BDEC là hình thang
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Hay \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\). Vậy BDEC là hình thang cân
b. Ta có: BD = DE ⇒ ∆ BDE cân tại D
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1}\)
Mà \({\widehat E_1} = {\widehat B_2}\) (so le trong)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\)
DE = EC ⇒∆ DEC cân tại E
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
\({\widehat D_1} = {\widehat C_2}\) (so le trong)
\( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat C_2}\)
Vậy khi BE là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\), CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) thì BD = DE = EC.
Câu 31 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\,\,\,\,(gt) \cr
& \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD} \cr} \)
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD
⇒ OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ OA = OB
Xét ∆ ADC và ∆ BCD :
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
⇒ ∆ EDC cân tại E
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
BD = AC (chứng minh trên)
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
Câu 32 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH.
Chứng minh rằng (a và b có cùng đơn vị đo)
b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm
Giải:
a. Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\)
AD = BC (tính chất hình thang cân)
\(\widehat D = \widehat C\) (gt)
Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ HD = KC
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
a−b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD
\( \Rightarrow HD = {{a – b} \over 2}\)
\(HD = DC-HD = a – {{a – b} \over 2} = {{a + b} \over 2}\)
b. \(HD = {{CD – AB} \over 2} = {{26 – 10} \over 2} = 8\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông AHD có \(\widehat {AHD} = {90^0}\)
\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\) (định lí Pi-ta-go)
\(\eqalign{
& \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} – H{D^2} \cr
& A{H^2} = {17^2} – {8^2} = 289 – 64 = 225 \cr
& AH = 15(cm) \cr} \)
Câu 33 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.
Giải:
Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)
\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong)
\(\eqalign{
& \widehat {ADB} = \widehat {BDC}(gt) \cr
& \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \)
⇒ ∆ ABD cân tại A
⇒ AB = AD = 3 (cm)
∆ BDC vuông tại B
\( \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\)
\(\widehat {ADC} = \widehat C\) (gt)
Mà \(\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat C\)
\(\widehat C + {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \widehat C = {60^0}\)
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)
\(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\) (đồng vị )
Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C\)
⇒ ∆ BEC cân tại B có \(\widehat C = {60^0}\)
⇒ ∆ BEC đều
⇒ EC = BC = 3 (cm)
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 (cm)
Chu vi hình thang ABCD bằng:
AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 (cm)
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
