Trọn bộ bài tập hệ thức vi-ét có đáp án cực hay

Lý thuyết hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

Khi đó nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

Ứng dụng của định lý Vi – ét

Tính nhẩm nghiệm

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = c/a

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -c/a

Tìm hai số khi biết tổng và tích

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² – Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0

Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho phương trình x² – 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2(x₁ + x₂) – x₁.x₂

Hướng dẫn:

Ta có: Δ = (-3)² – 4.1.2 = 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

Khi đó P = 2(x₁ + x₂) – x₁.x₂ = 2.3 – 2 = 4. Vậy P = 4

Câu 2: Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?

Hướng dẫn:

Gọi x₁, x₂ là hai số cần tìm, khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² – 5x + 6 = 0

Ta có Δ = (-5)² – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.

Phương pháp giả

Bài tập hệ thức vi-ét có đáp án

Bài 1: Cho phương trình x² – 3x + 1 = 0

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình, không giải phương trình tìm giá trị của các biểu thức sau

Lời giải:

Có Δ = (-3)² – 4.1 = 9 – 4 = 5 > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ ≠ 0

Bài 2: Cho phương trình: x² + (2m -1)x – m = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức A= x₁² + x₂² – x₁.x₂ có giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Bài 3: Cho phương trình x² + 2x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

a) x₁ – x₂ = 14

b) x₁ = 2x₂

c) x₁² + x₂² = 1

d) 1/x₁ + 1/x₂ = 2

Lời giải

Bài 4: Cho phương trình bậc hai x² – 2(m+1)x + m – 4 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

c) Không giải phương trình hãy tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ⇔ Δ > 0 với mọi m

Có Δ’ = (m +1)² – (m-4) = m² + m + 5 = (m + 1/2)² + 19/4 > 0 với mọi m

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0 ⇔ m – 4 < 0 ⇔ m < 4

Vậy với m < 4 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Bài 5: Phương trình  có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Giá trị của biểu thức x₁²x₂ + x₁x₂² bằng:

Lời giải: Đáp án A

Bài 6: Gọi S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình x² – 2x – 3 = 0. Giá trị của biểu thức S² + 2P là:

Lời giải:

Đáp án B

Bài 7: Cho phương trình x² – (m² + 1)x + 3m² – 8 = 0 (với m là tham số). Tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn x₁ = 4x₂ là:

Lời giải:

Đáp án C

Bài 8: Phương trình nào sau đây có nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x² + mx – 2 = 0?

Lời giải:

Đáp án B

Bài 9: Cho phương trình x² – 2x – m² = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – 1 và y₂ = 2x₂ – 1 là:

Lời giải:

Đáp án D

Bài 10: Cho phương trình bậc hai ẩn x , tham số m: mx² – (2m + 3)x + m – 4 = 0. Với các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:

Lời giải:

Đáp án C

Bài 11: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó:

Đáp án:

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c (a ≠ 0).

Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

Chọn đáp án A.

Bài 12: Chọn phát biểu đúng: Phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a – b + c = 0 . Khi đó:

Đáp án:

Chọn đáp án C.

Bài 13: Cho hai số có tổng là S và tích là P với S² ≥ 4P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây:

A. X² – PX + S = 0

B. X² – SX + P = 0

C. SX² – X + P = 0

D. X² – 2SX + P = 0

Đáp án:

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X² – SX + P = 0 (ĐK: S² ≥ 4P)

Chọn đáp án B.

Bài 14: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x² – 6x + 7 = 0

A. 1/6

B. 3

C. 6

D. 7

Đáp án:

Phương trình x² – 6x + 7 = 0 có Δ = (-6x)² – 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =  = 6 ⇔ x₁ + x₂ = 6

Chọn đáp án C.

Bài 15: Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình x² – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x₁² + x₂²

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

Đáp án:

Phương trình x² – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 16: Biết có hai số u và v thỏa mãn điều kiện: u + v = 12 và u.v = 27. Biết u < v. Tính u².v?

A. 54

B. 27

C. 144

D. 72

Đáp án:

Chọn đáp án A.

Bài 17: Biết có hai số u và v thỏa mãn u – v = 10 và u.v = 11. Tính |u+ v|?

A. 11

B. 12

C. 10

D. 13

Đáp án:

Ta có: u.v =11 nên u.(-v) = -11 (1)

Từ u – v = 10 nên u + (- v) = 10 (2)

Khi đó; u và (-v) là nghiệm phương trình:

x² – 10x – 11 = 0 (*)

Do a – b + c = 1 -(-10 ) + (-11) = 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm là:

x₁ = -1 và x₂ = 11

* Trường hợp 1: Nếu u = -1 và –v = 11

=> v = -11 nên u + v = -12

* Trường hợp 2: nếu u = 11 và –v = -1 thì v = 1

Suy ra: u + v = 12

Trong cả 2 trường hợp ta có: |u + v| = 12

Chọn đáp án B.

Bài 18: Cho phương trình x² – 4x + m + 1= 0 . Tìm m để phương trình trên có nghiệm và x₁. x₂ = 4. Tìm m?

A. m = – 3

B. Không có giá trị nào

C. m =3

D. m = 2

Đáp án:

Ta có: Δ’ = (-2)² – 1.(m + 1) = 3 – m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì Δ’ = 3 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 .

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁; x₂ .

Theo hệ thức Vi-et ta có: x₁.x₂ = m + 1

Để x₁. x₂ = 4 thì m + 1 = 4 nên m = 3 ( thỏa mãn điều kiện)

Chọn đáp án C.

Bài 19: Cho phương trình x² – 4x + (2m – 2) = 0.Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt?

A. m = 0

B. m =1

C. m = -1

D. Không có giá trị nào thỏa mãn

Đáp án:

Ta có:

Δ’ = (-2)² – 1.(2m – 2) = 2 – 2m

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn

Chọn đáp án D.

Bài 20: Cho phương trình x² – (m + 1)x + m = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Đáp án:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 21: Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình −x² − 4x + 6 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức 

A. −2

B. 1

C. 0

D. 4

Lời giải:

Phương trình: −x² − 4x + 6 = 0 có ∆ = (−4)² – 4.(− 1).6 = 40 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Đáp án cần chọn là: C

Bài 22: Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình x² − 20x − 17 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức C = x₁³ + x₂³

A. 9000

B. 2090

C. 2090

D. 9020

Lời giải:

Phương trình x² − 20x − 17 = 0 có ∆ = 468 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Đáp án cần chọn là: D

Bài 23: Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình 2x² − 18x + 15 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức C = x₁³ + x₂³

Lời giải:

Phương trình 2x² − 18x + 15 = 0 có  = 61 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Đáp án cần chọn là: B

Bài 24: Biết rằng phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2) luôn có nghiệm x₁; x₂ với mọi m. Tìm x₁; x₂ theo m

Lời giải:

Phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2; b = − (2m + 5);

c = m + 7

Vì a + b + c = m – 2 – 2m – 5 + m + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Bài 25: Biết rằng phương trình mx² + (3m − 1)x + 2m − 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có nghiệm x₁; x₂ với mọi m. Tìm x₁; x₂ theo m

Lời giải:

Phương trình mx² + (3m − 1)x + 2m − 1 = 0 (m ≠ 0) có

a = m; b = 3m – 1; c = 2m – 1

Vì a – b + c = m – 3m + 1 + 2m – 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

********************

Đăng bởi: Trường THPT Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Giáo dục