[Tìm Hiểu] công thức tính nhanh cực trị của Hàm số

[Tìm Hiểu] công thức tính nhanh cực trị của Hàm số

Bài viết hôm nay, THPT Ngô Thì Nhậm sẽ chia sẻ cùng các bạn công thức tính nhanh cực trị của Hàm số bậc ba, bậc bốn cùng nhiều dạng bài tập vận dụng khác. Những quy tắc, công thức vô cùng dễ nhớ. Chia sẻ để có thêm những bí kíp hay trong việc khảo sát đồ thị hàm số các bạn nhé !

I. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÀ GÌ?

1. Cực trị của hàm số là gì?

Bạn đang xem: [Tìm Hiểu] công thức tính nhanh cực trị của Hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b).

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0 .
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .

Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖{ x0 }.

• Nếu {f′(x)>0∣∀(x0−h;x0)f′(x)<0∣∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
• Nếu {f′(x)>0∣∀(x0−h;x0)f′(x)<0∣∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) (h > 0).

• Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) > 0  thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
• Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f

2. Cực trị của hàm số bậc ba là gì ?

3. Cực trị của hàm số bậc bốn là gì ?

Cho hàm số bậc 4 : y=f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e với a≠0

Đạo hàm y′=4ax³+3bx²+2cx+d

Hàm số y=f(x) có thể có một hoặc ba cực trị .

Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm y′ đổi dấu.

II. CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Công thức 1:

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
• Bước 3. Lập bảng biến thiên.
• Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Công thức 2:

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux_i (i=1,2,3,…)là các nghiệm của nó.
• Bước 3. Tính f”(x) và f”(x_i ) .
• Bước 4. Dựa vào dấu của f”(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

1. Công thức tính nhanh cực trị của hàm số bậc ba

Bước 1:
Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax²+ 2bx + c,
Cho y’ = 0 ⇔ 3ax² +2bx + c = 0 (1)
Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt
Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó (*)

Bước 2:
Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm
Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện (*) của tham số và kết luận.
Một số điều kiện của bài toán thường gặp:
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị <=> a ≠ 0 và ∆ ý(∆’) > 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục hoành <=> y_CD.y _CT < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục tung <=> x_CD.x _CT< 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía trên của trục hoành <=>

– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía dưới của trục hoành <=>

– Để hàm số y = f(x) đã cho có cực trị nằm tiếp xúc với trục hoành <=> y _CD.y_CT= 0
– Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khác nằm phía đối với đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0
Gọi M₁  (x₁ ; y₁) và M₂ (x₂; y₂) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
Ta có t₁ và t₂ là giá trị của các điểm cực trị M₁, M ₂ khi ta thay vào đường thẳng d.
t₁ = Ax₁+ By₁ + C
t₂ = Ax₂+ By₂ + C
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đường thẳng d thì ta có phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm cùng 1 phía đường thẳng d thì ta có phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂
Chú ý: Khi ta thay đường thẳng d bằng trục của Ox hoặc Oy hay 1 đường tròn thì ta vẫn áp dụng được kết quả trên . Các kết quả khác của nó thì tùy theo từng điều kiện để có thể áp dụng.

2. Công thức tính nhanh cực trị của hàm số bậc bốn

Xét hàm số trùng phương f(x)=ax⁴+bx²+c có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân ABC đỉnh A

Tọa độ các đỉnh:

• A(0;c)
• B(√-b/2a;−Δ4/a)
• C(√-b/2a;−x.Δ/4a)

Để giải quyết nhanh các bài toán về hàm bậc 4 trùng phương trong các bài toán trắc nghiệm thì ta có các công thức sau đây

cos BACˆ=b³+8a/b³−8a

Diện tích ΔABC=b²/4|a|.√-b/2a

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho hàm số  , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho có hai cực trị.

Giải

Ta có: 

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 2: Cho hàm số  , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

Giải

Với m = 0   nên hàm số không có cực trị.

Với 

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Vậy với  thì hàm số không có cực trị.

Bài 3:  Cho hàm số y = x⁴ – 2(m+1)x² + m² (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Giải

Đạo hàm y’ = 4x³ – 4(m + 1)x.

Hàm số có 3 cực trị m + 1 > 0 ⇔ m > -1

Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị:

Nhận xét: A ∈ Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy nên ∆ABC cân tại A tức là AB = AC nên tam giác chỉ có thể vuông cân tại A.

Bài 4: Cho hàm số  . Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải

Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Ta có: 

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

 Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác o  

Vậy với  thì hàm số có 3 cực trị.

Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Ta có: với  thì 

Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là: 

Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC

−−→AB.−−→AC=0AB→.AC→=0 

<=> m = 0 (loại)  hoặc m =-1; m= 1 ( thỏa mãn)

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5: Tìm m để hàm số   đạt cực tiểu tại x = -2.

Giải

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì điều kiện cần là  :

Với  thì  0″ /> nên hàm số đạt cực tiểu tại  . Vậy   thỏa yêu cầu

Với  thì  . Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên  không thỏa yêu cầu.

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Vậy là các bạn vừa được chia sẻ công thức tính nhanh cực trị của Hàm số cực nhanh cùng nhiều dang bài tập vận dụng khác. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu cần thiết giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm công thức tìm cực trị hàm bậc ba tại đường link này nhé !

Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Giáo dục