Tiếp tuyến là gì?
Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại duy nhất một điểm. Đồng thời nó cũng sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn tại chính điểm đó.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm chính là một đường thẳng tiếp xúc trực tiếp với đồ thị hàm số tại chính điểm đó. Và công thức để chúng ta có thể xác định được tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M(x1, x2) sẽ là: y = f’(x1)(x-x1) + x2 .
Dựa vào công thức trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm sẽ chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến.
Tính chất của đường tiếp tuyến
– Nếu một đường thẳng được xác định là tiếp tuyến của đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó.
– Đường thẳng mà vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì sẽ đi qua tâm.
– Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, chúng ta luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn đó.
– Hai tiếp tuyến của đường tròn sẽ cắt nhau tại 1 điểm bất kỳ và điểm đó sẽ chính là khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.
+ Tia được kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn sẽ được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 đường tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau thì sẽ được gọi là tia phân giác của 2 bán kính và đi qua các tiếp điểm.
– Nếu 2 tiếp tuyến tại điểm A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA sẽ bù nhau.
Dấu hiệu để nhận biết đường tiếp tuyến
– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm nào đó nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có duy nhất một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bất kỳ bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn cách viết phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng Δ nên ta có: y = ax + b => ka = -1 => k = -(1/a).
Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng cho trước với hệ số góc k = -(1/k).
Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng
Tiếp tuyến d song song đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a
Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ song song với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a
Sau khi đã lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ hãy kiểm tra lại tiếp tuyến đó xem có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì ta không nhận kết quả đó.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
Bước 1. Cần tính đạo hàm y’=f(x). Từ đó có thể suy ra hệ số góc tiếp tuyến k=y’(x0).
Bước 2: Ta có công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng là: y= y’(x0)(x – x0) + y0.
Lưu ý:
– Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì cần tìm được y0 bằng cách thay thế x0 vào hàm số y = f(x0).
– Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì cần đi tìm y0 cũng bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).
– Nếu đề bài yêu cầu bạn viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b thì khi đó các hoành độ tiếp điểm x chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d sẽ có dạng là f(x) = ax + b.
Đặc biệt: Nếu trục hoành Ox thì sẽ có y = 0 và trục tung Oy thì sẽ có x = 0.
Ngoài ra bạn cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính toán
Việc sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thực chất chỉ là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công mà thôi. Sử dụng máy tính sẽ giúp các bạn tính toán được nhanh hơn và chính xác hơn.
Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
- Bước 1: Ta hãy gọi M (x0; f(x0)) là tiếp điểm. Sau đó tính hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0) dựa theo x0.
- Bước 2. Phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng d: y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).
Vì điểm A (xA; yA) thuộc d nên yA=f’(x0)(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên ta sẽ tìm được x0.
- Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào phương trình ở bước 2 ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)
Cách giải:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc
Áp dụng phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0
Cách giải:
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.
Áp dụng phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0
Cách giải:
– Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0.
– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì khi thay vào ta có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)
Cách giải:
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0
– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho hàm số y = x4 + (1/2)mx2 + m – 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x – 3y + 1 = 0. Tìm m.
Hướng dẫn giải:
– Ta có y’ = 4x3 + mx
– Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 – m
– Hệ số góc của đường thẳng x – 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3
– Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x – 3y + 1 = 0 nên (-4 – m).(1/3) = -1 ⇔ -4 – m = 3 ⇔ m = -1
Bài 2: Cho y = (3 – 2x)/(x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua hai điểm A(-7;6) và B(-3;10).
Hướng dẫn giải:
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo (xo ≠ -1) là:
Δ: y = y’ (xo )(x – xo ) + y(xo ) ⇒ Δ:y = – 5/(xo + 1)2 (x – xo ) + (3 – 2xo )/(xo + 1)
⇒ Δ: 5x + (xo + 1)2 y + 2xo2 – 6xo – 3 = 0
Vì Δ cách đều các điểm A và B nênc
d(A; Δ) = d(B; Δ)
Vậy các tiếp tuyến cách đều A và B là y = (-5/4)x + 7/4 và y = -5x – 17
Bài 3: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x3 + 3x2 + mx = 0
⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔ 
Để (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0
Gọi x1, x2là hai nghiệmcủa phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có dạng D(x1; 1); E(x2; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét
Ta có y’ = 3x2 + 6x + m
Vì các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có:
y'(x1 ).y'(x2)=-1⇔ (3x12 + 6x1 + m)(3x22 + 6x2 + m) = -1
⇔ 9(x1 x2)2 + 18x1x2(x1 + x2) + 3m[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 36x1x2 + 6m(x1 + x2) + m2 = -1
⇔ 9m2 -54m + 3m(9 – 2m) + 36m – 18m + m2 = -1
⇔ 4m2 -9m + 1 = 0 ⇔ 
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = (9 + √65)/8 và m = (9 – √65)/8
********************
Đăng bởi: Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giáo dục
