Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương cực hay

THPT Ngô Thì Nhậm 30/12/2021

Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương cực hay

Bài viết trước THPT Ngô Thì Nhậm đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn học sinh cách giải phương trình bậc bốn nhanh nhất. Tiếp tục mạch kiến thức đó, bài viết hôm nay, chúng tôi sẽ giới thiệu về phương trình trùng phương và cách giải phương trình trùng phương cực hay. Bạn theo dõi nhé !

I. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG LÀ GÌ?

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

Bạn đang xem: Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương cực hay

Đặt t = x²(t >0) Ta được phương trình: (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
$Leftrightarrow left{ begin{MATRIX} & Delta >0 \ & P>0 \ & S>0 \ end{align} right.$
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0
$Leftrightarrow left{ begin{matrix} & Delta >0 \ & P=0 \ & S>0 \ end{align} right.$
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} & left{ begin{matrix} & Delta =0 \ & S>0 \ end{align} right. \ & P<0 \ end{align} right.]$
Phương trình (1) có 1 nghiệm  (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} & left{ begin{matrix} & Delta =0 \ & S=0 \ end{align} right. \ & left{ begin{matrix} & P=0 \ & S<0 \ end{align} right. \ end{align} right.$
Phương trình (1) có 1 nghiệm (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} & Delta <0 \ & left{ begin{matrix} & Delta ge 0 \ & P>0 \ & S<0 \ end{align} right. \ end{align} right.$

II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG CỰC HAY

Phương pháp 1: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình tích

Dựa vào phương trình ban đầu, ta sẽ biến đổi bằng cách đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức,… để được phương trình mới có dạng một tích của các biểu thức. Sau đó tiến hành giải phương trình mới.
Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B=0

Phương pháp 2: Giải phương trình trùng phương bằng phương pháp đặt ẩn

Ta có: với a ≠ 0

Bước 1: Đặt ẩn t = x² với điều kiện t ≥ 0
Bước 2: Tiến hành giải phương trình bậc 2 ẩn t: at² + bt + c = 0 để tìm t
Bước 3: Tìm ra giá trị x thỏa mãn điều kiện t = x² (t ≥ 0)bằng cách giải phương trình t = x²
Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình trùng phương

***Lưu ý: Đối với tất cả các dạng bài toán về phương trình trùng phương giải theo cách đặt ẩn, học sinh cần thực hiện theo đủ 4 bước như trên để đạt điểm trình bày tối đa.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm
Hướng dẫn:

Trường hợp1: Xét m – 3 = 0

Trường hợp 2: Xét
Đặt  Ta có phương trình
Để phương trình có nghiệm thì phương trình (2) phải có ít nhất một nghiệm không âm
Khi đó ta cần *   PT (2) có hai nghiệm trái dấu                 KQ: 0 < m < 3
                           Hoặc PT (2) có nghiệm bằng 0            KQ:m = 0
                           Hoặc PT (2) có hai nghiệm dương        KQ:
Bài 2. Cho phương trình  .Tìm m để phương trình
a) có nghiệm duy nhất     b) có hai nghiệm phân biệt c) có 3 nghiệm phân biệt    d) có 4 nghiệm phận biệt
Hướng dẫn:

Trường hợp1:: m = 0 PT có 2 nghiệm pb
Trường hợp 2: mne 0
$\a) m = 1, \b) 0 le m < 1 \ c) m in varnothing \ d) m < 0$

Bài 3: Giải phương trình

Điều kiện: x ≠ 0

Ta có ⇔

⇔

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là

Bài 4: Giải phương trình

Bước 1: Đặt t = (x)² điều kiện t ≥ 0
Bước 2: Ta có phương trình mới: 9t² – 10t + 1 = 0 (1)
- Giải phương trình (1), ta có: (t – 1)(9t – 1) = 0
- Với t =1 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
- Với t = 1/9 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0

Bước 3: Tìm x
- Vì t = 1 nên x² = 1 ⇔ x = ±1
- Vì t = 1/9 nên x² = 1/9 ⇔ x = ±1⁄3

Bước 4: Vậy phương trình 9×4 – 10×2+ 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt S={-1; -1/3; 1/3; 1}

Bài 5: Giải phương trình

Lời giải:

Bước 1: Đặt t = x² điều kiện t ≥ 0
Bước 2: Ta có phương trình mới: t² – 5t + 4 = 0 (1)
- Giải phương trình (1): (t – 1)(t – 4) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 4
- Với t = 1 hoặc t = 4 thỏa mãn điều kiện t0

Bước 3: Tìm x
- Với t = 1 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1
- Với t = 4 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ±2
Bước 4: Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt S = {-2; -1; 1; 2}

Bài 6: Giải phương trình

Lời giải:

Ta có: ⇔

Bước 1: Đặt t = (2x)² điều kiện t ≥ 0
Bước 2: Ta có phương trình mới: t² – 2t + 1 = 0 (1)
- Giải phương trình (1) (t – 1)² = 0 ⇔ t = 1
- Với t = 1 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0

Bước 3: Tìm x
- Với t = 1 ⇔ (2x)²=1 ⇔ x = ±1 ⇔ x = 0.5 hoặc x = – 0.5
Bước 4: Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt S = {-0.5; 0.5}

Bài 7: Giải phương trình trùng phương: ${x^4} + 7{x^2} + 10 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = {x^2}left( {t ge 0} right)$

Phương trình trở thành ${t^2} + 7t + 10 = 0$ (1)

Có $Delta = {b^2} - 4ac = {7^2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

${t_1} = frac{{ - b + sqrt Delta }}{{2a}} = frac{{ - 7 + 9}}{2} = 1$ (tm) và ${t_2} = frac{{ - b - sqrt Delta }}{{2a}} = frac{{ - 7 - 9}}{2} = - 8$ (loại)

Với $t = 1 Rightarrow {x^2} = 1 Leftrightarrow x = pm 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = -1

Bài 8: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: $left( {m + 2} right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$

Lời giải:

Với $m + 2 = 0 Leftrightarrow m = - 2$ , phương trình đã cho trở thành:

$3{x^2} - 1 = 0 Leftrightarrow {x^2} = frac{1}{3} Leftrightarrow x = pm frac{{sqrt 3 }}{3}$ (loại)

Với $m + 2 ne 0 Leftrightarrow m ne - 2$ , phương trình đã cho là phương trình trùng phương:

$left( {m + 2} right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$ (1)

Đặt $t = {x^2}left( {t ge 0} right)$

Phương trình trở thành $left( {m + 2} right){t^2} + 3t - 1 = 0$ (2)

Có $Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.left( {m + 2} right).left( { - 1} right) = 9 + 4m + 8 = 17 + 4m$ ,

$P = frac{{ - b}}{a} = frac{{ - 3}}{{m + 2}} ne 0$ và $S = frac{c}{a} = frac{{ - 1}}{{m + 2}} ne 0$

Có P khác 0 nên phương trình không có nghiệm bằng 0 nên phương trình (1) không có 3 nghiệm phân biệt hoặc 1 nghiệm

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương $Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0\ P > 0\ S > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 17 + 4m > 0\ frac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0\ frac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0 end{array} right. Leftrightarrow ge left{ begin{array}{l} m > frac{{ - 17}}{4}\ m < - 2 end{array} right. Leftrightarrow frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt âm

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Delta < 0\ left{ begin{array}{l} Delta > 0\ P < 0\ S > 0 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 17 + 4m < 0\ left{ begin{array}{l} 17 + 4m > 0\ m + 2 < 0\ m + 2 > 0 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow 17 + 4m < 0 Leftrightarrow m < frac{{ - 17}}{4}$

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$ , phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

$m < frac{{ - 17}}{4}$ , phương trình (1) vô nghiệm

Vậy là các quý thầy cô cùng các bạn học sinh đã được chia sẻ lý thuyết về phương trình trùng phương và cách giải phương trình trùng phương cực hay. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu quý phục vụ cho quý trình dạy và học. Xem thêm cách giải phương trình bậc bốn nữa nhé !

Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Giáo dục

Nội dung bài viết được đăng tải bởi thầy cô trường thpt Ngô Thì Nhậm (trước đây là trường trung học phổ thông Sóc Trăng). Cấm sao chép dưới mọi hình thức.

THPT Ngô Thì Nhậm 30/12/2021

Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương cực hay

Related Articles

Trả lời Hủy