Giải bài tập trang 172 bài ôn tập chương II – đường tròn Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Câu 85: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C…
Câu 85 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh rằng NE ⊥ AB.
Bạn đang xem: Giải bài 85, 86, 87, 88 trang 172 SBT Toán 9 tập 2
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B ; BA).
Giải:
a) Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: AN ⊥ BM
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C
Suy ra: AC ⊥ BN
Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN
Suy ra: NE ⊥ AB
b) Ta có: MA = MN ( tính chất đối xứng tâm)
ME = MF ( tính chất đối xứng tâm)
Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.
Suy ra: AF // NE
Mà NE ⊥ AB ( chứng minh trên)
Suy ra: AF ⊥ AB tại A.
Vậy FA là đường trung tuyến của đường tròn (O).
c) Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN
Suy ra tam giác ABN cân tại B.
Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)
Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC
Mặt khác: AC ⊥ BN ( chứng minh trên)
Suy ra: FN ⊥ BN tại N
Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B; BA).
Câu 86 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau ?
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Giải:
a) Vì O, O’ và B thẳng hàng nên: O’B < OB ⇒ O' nằm giữa O và B
Ta có: OO’ = OB – O¢B
Vậy đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B.
b) Ta có: HA = HC (gt)
AB ⊥ DE (gt)
Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: AC ⊥ DE
Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi.
c) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD
Suy ra: EC ⊥ BD (1)
Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O¢) có BC là đường kính nên vuông tại K.
Suy ra: CK ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK
Vậy E, C, K thẳng hàng.
d) Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
\(HK = HE = {1 \over 2}DE\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác EHK cân tại H
Suy ra: \(\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\) (tính chất tam giác cân) (3)
Ta có: O’K = O’C (= R) nên tam giác O’CK cân tại O’
Suy ra: \(\widehat {O’KC} = \widehat {O’CK}\) (tính chất tam giác cân)
Mà: \(\widehat {O’CK} = \widehat {HCE}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {O’KC} = \widehat {HCE}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {HKO’} = \widehat {HKE} + \widehat {O’KC} = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\) (5)
Tam giác CEH vuông tại H nên \(\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: \(\widehat {HKO’} = 90^\circ \) hay HK ⊥ KO’ tại K
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Câu 87 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) tiếp xúc ngoài tại A ( R > R’).
Vẽ các đường kính AOB, AO¢C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O¢). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O¢).
Giải:
a) Vì đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúcngoài tại A nên O, A và O’ thẳng hàng.
Ta có: KB = KC (gt)
Trong đường tròn (O) ta có:
AB ⊥ DE tại K
Suy ra: KD = KE ( đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: BC ⊥ DE
Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD
Suy ra: EC ⊥ AD (1)
Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O¢) có AC là đường kính nên vuông tại I.
Suy ra: AI ⊥ CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI
Vậy D, A, I thẳng hàng.
c) Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
\(KI = KD = {1 \over 2}ED\) ( tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác IKD cân tại K
Suy ra: \(\widehat {KID} = \widehat {KDI}\) hay \(\widehat {KIA} = \widehat {KDA}\) (3)
Ta có: O’A = O’I ( = R) nên tam giác O’IA cân tại O’
Suy ra: \(\widehat {O’AI} = \widehat {O’IA}\) ( tính chất tam giác cân)
Mà: \(\widehat {O’AI} = \widehat {KAD}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {O’IA} = \widehat {KAD}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {KIO’} = 90^\circ \) hay KI ⊥ O’I tại I.
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Câu 88 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
Giải:
a) Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
− MA là tia phân cách của góc HMC
Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)
− MB là tia phân giác của góc HMD
Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)
Tam giác ABM nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)
\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ = 180^\circ \)
Vậy C, M, D thẳng hàng.
b) Trong đường tròn (M ; MH), theo (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH.
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi
c) Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB ( bán kính (O))
Và AC = MD ( bán kính (M))
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABCD
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)
Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2 = OH.OI
Suy ra: OH.OI = R2 không đổi.
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
