Công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và bài tập
Tích có hướng của hai vectơ là gì? Chúng có những tích chất gì? Công thức tính tích có hướng của hai vectơ ra sao cùng nhiều dạng bài tập thường gặp là những mạch kiến thức quan trọng THPT Ngô Thì Nhậm sẽ giới thiệu cùng các bạn qua bài viết sau đây. Hãy chia sẻ để có thêm nguồn tư liệu phục vụ quá trình dạy và học bạn nhé !
I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
Bạn đang xem: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và bài tập
Theo SGK Hình học 12 thì tích có hướng của hai vectơ định nghĩa theo biểu thức tọa độ như sau:
Trong không gian tọa độ
, tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ
và
là một vectơ được kí hiệu là
(hoặc
) và có tọa độ được xác định như sau:
, tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ 
và 
là một vectơ được kí hiệu là 
) và có tọa độ được xác định như sau:2. Tính chất
Tích có hướng của hai vectơ 
và 
có một số tính chất quan trọng sau:2
a) Vectơ ![[vec{a},vec{b}]](https://thptngothinham.edu.vn/wp-content/uploads/2022/03/quicklatex.com-da36945ec8008ae2f07d6670ec2149e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
vuông góc đồng thời cả hai vectơ và .
b) ![|[vec{a},vec{b}]| = |vec{a}|.|vec{b}|.sin{(vec{a},vec{b})}](https://thptngothinham.edu.vn/wp-content/uploads/2022/03/quicklatex.com-06c4fdd661d0513794601aed60b83850_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
c) ![[vec{a},vec{b}] = - [vec{b},vec{a}]](https://thptngothinham.edu.vn/wp-content/uploads/2022/03/quicklatex.com-23699341158c4242255b2e471146557c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển câu hỏi ban đầu thành một bài toán và cố gắng sử dụng hiểu biết trên để giải quyết nó.
3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)
+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:
a , b và c đồng phẳng [ a , b ]. c =0
+ Diện tích hình bình hành ABCD:
SABCD=|[AB ; AD ]|
+ Diện tích tam giác ABC:
SABC=1/2 |[AB ; AC ]|
+ Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:
VABCD.A’B’C’D’=|[AB; AD ]. AA’ |
+ Thể tích tứ diện ABCD
VABCD=1/3 |[AB ; AC ]. AD |
II. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH CÓ HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Phần định nghĩa bên trên giúp chúng ta hiểu được ý nghĩa tích có hướng. Ở hình học 12 ta thường dùng công thức tích có hướng thông qua tọa độ của hai vectơ. Cụ thể tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz được tính như sau
![[[vec{a},vec{b}]=left (begin{vmatrix} a_2 & a_3 \ b_2 & b_3 end{vmatrix};begin{vmatrix} a_3 & a_1 \ b_3 & b_1 end{vmatrix};begin{vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 end{vmatrix}right )]](https://thptngothinham.edu.vn/wp-content/uploads/2022/03/quicklatex.com-62dfd60affd43e5d1888b447ae0b10b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[=(a_2b_3 - a_3b_2; a_3b_1 - a_1b_3; a_1b_2 - a_2b_1)]](https://thptngothinham.edu.vn/wp-content/uploads/2022/03/quicklatex.com-0e26212a7e1b24f4b5bb81128c47fc74_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lưu ý cách ghi nhớ: Cột nào bỏ cột đấy, ở giữa đổi dấu. Tức là hoành bỏ hoành, tung bỏ tung đổi dấu, cao bỏ cao.
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍCH CÓ HƯỚNG THƯỜNG GẶP
Để hiểu hơn về cách tính tích có hướng của 2 vectơ các bạn có thể tham khảo các dạng bài tập minh họa dưới đây.
Dạng 1: Tính tích có hướng của 2 vectơ
Với dạng bài tập này bạn có thể áp dụng công thức chúng tôi đã cung cấp ở trên.
Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng
B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng
C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng
D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng
Giải
Chọn C.
A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)
B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→ thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .
C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .
D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)
Dạng 3: Tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:
A. (3√5)/2 B. 3√5
C. 4√5 D. 5/2
Đáp án : B
Giải thích :
AB→ =(3; -2;1); AC→ =(1;0;2)⇒[AB→ , AC→ ]=(-4; -5;2)
SABC=1/2 |[AB→ , AC→ ]|=(3√5)/2
Dạng 4: Tính thể tích hình hộp, thể tích tứ diện
Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A
Giải
Vậy là chúng tôi đã chia sẻ cùng quý thầy cô và các bạn công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và nhiều dạng toán nữa bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
