Cát tuyến là gì? Tính chất của cát tuyến
Cát tuyến là gì?
+ Cát tuyến là một từ Hán – Việt. Trong đó “Cát” nghĩa là cắt, còn “tuyến” có nghĩa là đường thẳng. Bởi vậy, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt các đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…)
+ Theo khái niệm trong sách giáo khoa bộ môn toán, thì cát tuyến chính là một đường thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng trên. Một vài trường hợp đặc biệt đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn.
Tính chất của cát tuyến
Cho 1 đường tròn tâm O với 2 đường thẳng là AB và CD, ta có:
- Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB và CD của 1 đường tròn cắt nhau tại điểm M thì MA.MB = MC.MD
- Đảo lại, nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M và MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D cũng sẽ thuộc cùng 1 đường tròn
- Nếu MC là tiếp tuyến, MAB là cát tuyến thì MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2
- Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ lần lượt các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD. Có H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, H, A, B, O cùng nằm trên 1 trung điểm.
- Từ điểm K nằm ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB với cát tuyến KCD đến đường tròn thì AC/AD = BC/BD. Ta có góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.
Định lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
Bài tập ví dụ về cát tuyến
Bài tập: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) CM: MA.MA = MC.MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CM: A, B, K thẳng hàng
Lời giải:
a) +) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)
→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)
→ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
→ MA2 = MC.MD (đpcm)
b) +) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)
→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO
→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
c) +) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H → MH. MO = MA2 = MC. MD
→ → △ MHC ~ △ MDC → góc MHC = góc MDO
→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC
→ 900 – góc MHC = 900 – góc OHD → góc CHB = góc BHD
→ HB là phân giác của góc CHD.
d) +) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)
→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn) mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)
→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn
→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD)
→ 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
********************
Đăng bởi: Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giáo dục